可能です。以下の方法でご依頼ください。
【 社会保険（社保） 】
社会保険診療報酬支払基金HPに再発行依頼書の様式（Word）が掲載されています。
必要事項を記載のうえ、保険医療機関等の所在する都道府県の審査委員会事務局へご依頼ください。
宛先を記載した返信用封筒（切手貼付）を同封してください。

【 国民健康保険（国保 ）】
各都道府県の国保HPに再発行依頼書の様式が掲載されています。
必要事項を記載のうえ、所定の宛先まで郵送またはFAXでご依頼ください。

補足：返信用封筒（切手）の有無は都道府県ごとに異なりますので、事前にご確認ください。